シュレーディンガー方程式

　　　　ド・ブロイ波の周波数と波長との間には、
　　　　　　　$H=hν$
　　　　　　　$p=\frac{h}{λ}$
　　　　の関係がある。

　　　　古典力学では、
　　　　系の全エネルギー$H$（ハミルトニアン）を運動エネルギーと位置エネルギーの和として
　　　　　　　$H=\frac{p^2}{2m}+V(x)$　　　　　　　　　・・・・・・・・①
　　　　と表し、更に周波数$ν$、波長$λ$の波動は
　　　　　　　$ψ(x,t)=A\cos2π(\frac{x}{λ}-νt)$
　　　　と表現でき、これにド・ブロイ波の関係を代入することで
　　　　　　　$ψ(x,t)=A\cos2π(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})$　　　・・・・・・・・②
　　　　と表現できる。

　　　　一方　$ψ(x,t)=Ae^{2πi(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})}$　と置けば　・・・・・・・・③
　　　　　　　　　　$=A\cos2π(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})+iA\sin2π(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})$
　　　　となり、虚数部分がなければ②と一致する。

　　　　ここで、

　　　　③式を$x$で一階偏微分すると
　　　　　　　$\frac{\partial ψ}{\partial x}=\frac{2πi}{h}pAe^{2πi(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})}=\frac{2πi}{h}pψ=\frac{i}{ℏ}pψ$

　　　　③式を$x$で二階偏微分すると
　　　　　　　$\frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2}=-(\frac{2π}{h})^2p^2ψ=-\frac{p^2}{ℏ^2}ψ$
　　　　　　　∴　$\frac{\partial^2}{\partial x^2}=-\frac{p^2}{ℏ^2}$
　　　　　　　∴　$p^2=-ℏ^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}$　$(=\hat{p}^2)$

　　　　③式を$t$で一階偏微分すると
　　　　　　　$\frac{\partial ψ}{\partial t}=-\frac{2πi}{h}HAe^{2πi(\frac{px}{h}-\frac{Ht}{h})}=-\frac{2πi}{h}Hψ=-\frac{i}{ℏ}Hψ$
　　　　　　　∴　$\frac{\partial}{\partial t}=-\frac{i}{ℏ}H$
　　　　　　　∴　$H=iℏ\frac{\partial}{\partial t}$　$(=\hat{H})$

　　　　これらの微分方程式を式①式に当てはめ$ψ$に作用させると
　　　　　　　$iℏ\frac{\partial ψ}{\partial t}=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2}+V(x)ψ$　　　　　　・・・・・・・・④

　　　　となり、これがシュレーディンガーの波動方程式である。