時間に依存しないシュレーディンガー方程式

　　　　$ψ(x,t)$を座標$x$に依存する部分と時間$t$に依存する部分の積で表し

　　　　　　　$ψ(x,t)=f(x)g(t)$


　　　　　　　$iℏ\frac{\partial (fg)}{\partial t}=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 (fg)}{\partial x^2}+V(x)fg$

　　　　定数項を微分から外すと

　　　　　　　$iℏf\frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{ℏ^2}{2m}g\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+V(x)fg$

　　　　更に両辺を$f(x)g(t)$で割り

　　　　　　　$iℏ\frac{1}{g}\frac{\partial g}{\partial t}=-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{1}{f}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+V(x)$

　　　　とし、左辺を$t$の関数、右辺を$x$の関数に左右分離した。

　　　　これにより両辺は$t$にも$x$にも依存しない、ある値に等しいとし、これを$E$とする。

　　　　　　　$iℏ\frac{1}{g}\frac{\partial g}{\partial t}=E$　、　$-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{1}{f}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+V(x)=E$

　　　　これを整理し以下の2式に分離する。

　　　　　　　$iℏ\frac{\partial g}{\partial t}=Eg$　　　　　　　・・・・・・・・①
　　　　　　　$-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=[E-V(x)]f$　　　・・・・・②

　　　　①式を解くと

　　　　　　　$g(t)=Ae^{-i\frac{E}{ℏ}t}=Ae^{-iωt}$

　　　　②式は時間に依存しないシュレーディンガー方程式であり、$V(x)$を具体的に決めない限り解くことはできない。