シュレーディンガー方程式の解
理想的なバネにつながれて振動する物体の運動を「調和振動」と呼ぶ。
調和振動の復元力は変位に比例することから次の式で表される。
$F(x)=-mω^2x$ ・・・・・・・・①
$F(x)=-kx$（フックの法則）
$k$と角振動数$ω$との関係は $ω:=\sqrt{\frac{k}{m}}$ ∴ $k=mω^2$
復元力$F(x)$とポテンシャル$V(x)$の関係は
$F(x)=-\frac{dV(x)}{dx}$ であり、
これにより
$V(x)=\frac{1}{2}mω^2x^2$
となり、調和振動子の時間に依存しないシュレーディンガー方程式は次式となる。
$-\frac{ℏ^2}{2m}\frac{\partial^2 ψ}{\partial x^2}=(E-\frac{1}{2}mω^2x^2)ψ$ ・・・・・・・・②
調和振動子における時間に依存しないシュレーディンガー方程式の解
$x=\sqrt{\frac{ℏ}{mω}}ξ$ ， $E=\frac{ℏω}{2}ε$
と置くと②式は
$\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}+(ε-ξ^2)φ=0$ ・・・・・・・・③
となる。次に$ξ→∞$とし$ε$を無視できるようにすると③式は
$\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}-ξ^2φ=0$
となり、この解は $φ=He^{±\frac{ξ^2}{2}}$ である（未知数$H$は結果的に$Hermite$の多項式となるため、頭文字の$H$を使用する）。
( $\frac{\partial φ}{\partial ξ}=±Hξe^{±\frac{ξ^2}{2}}$ ⇒ $\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}=ξ^2Hξe^{±\frac{ξ^2}{2}}=ξ^2φ$ ∴ $\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}-ξ^2φ=0$ )
但し、$φ=He^{+\frac{ξ^2}{2}}$では$ξ→∞$で波動関数が拡散するため、
解としては$φ=He^{-\frac{ξ^2}{2}}$を採用する。 ・・・・・・・・④
次に $φ=He^{-\frac{ξ^2}{2}}$ を③式に戻す（代入する）が、このとき$H$は$ξ$の関数$H(ξ)$であると仮定すると、
$\frac{\partial φ}{\partial ξ}=\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-ξH(ξ)e^{-\frac{ξ^2}{2}}$
$\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}=\frac{\partial^2 H(ξ)}{\partial ξ^2}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-ξ\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-(He^{-\frac{ξ^2}{2}}+ξ\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-ξ^2H(ξ)e^{-\frac{ξ^2}{2}})$
$=\frac{\partial^2 H(ξ)}{\partial ξ^2}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-2ξ\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}e^{-\frac{ξ^2}{2}}+(ξ^2-1) H(ξ)e^{-\frac{ξ^2}{2}}$
$\frac{\partial^2 φ}{\partial ξ^2}+(ε-ξ^2)φ=\frac{\partial^2 H(ξ)}{\partial ξ^2}e^{-\frac{ξ^2}{2}}-2ξ\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}e^{-\frac{ξ^2}{2}}+(ξ^2-1+ε-ξ^2) H(ξ)e^{-\frac{ξ^2}{2}}=0$
∴ $[\frac{\partial^2 }{\partial ξ^2}-2ξ\frac{\partial}{\partial ξ}+(ε-1)]H(ξ)=0$ ・・・・・・・・⑤
従って⑤式を満たす$H(ξ)$において、④式で表される$φ$は③式の解ともなる。
ここで
$$\hspace{20mm}H(ξ)=\sum_{k=0}^{∞} a_kξ^k$$
とおくと
$$\hspace{20mm}\frac{\partial H(ξ)}{\partial ξ}=\sum_{k=1}^{∞} a_kkξ^{k-1}，\hspace{10mm}\frac{\partial H(ξ)^2}{\partial ξ^2}=\sum_{k=2}^{∞} a_kk(k-1)ξ^{k-2}$$
となり、これらを⑤式に代入すると
$$\hspace{20mm}[\frac{\partial^2 }{\partial ξ^2}-2ξ\frac{\partial}{\partial ξ}+(ε-1)]H(ξ)=\sum_{k=2}^{∞} k(k-1)a_kξ^{k-2}-2\sum_{k=1}^{∞}ξka_kξ^{k-1}+\sum_{k=0}^{∞}(ε-1)a_kξ^k$$
$$\hspace{87mm}=\sum_{k=0}^{∞}(k+2)(k+1)a_{k+2}ξ^k-2\sum_{k=0}^{∞}ka_kξ^k+\sum_{k=0}^{∞}(ε-1)a_kξ^k$$
$$\hspace{87mm}=\sum_{k=0}^{∞}[(k+2)(k+1)a_{k+2}-(2k-ε+1)a_k]ξ^k=0$$
$$\hspace{20mm}∴ a_{k+2}=-\frac{ε-2k-1}{(k+1)(k+2)}a_k\hspace{4mm}$$
よって $a_2=-\frac{ε-1}{1･2}a_0, a_4=-\frac{ε-4-1}{3･4}a_2, a_6=-\frac{ε-8-1}{5･6}a_4,･････\hspace{5mm}a_3=-\frac{ε-2-1}{2･3}a_1, a_5=-\frac{ε-6-1}{4･5}a_3, a_7=-\frac{ε-10-1}{6･7}a_5,･････$ から
$$\hspace{20mm}a_2=-\frac{ε-1}{1･2}a_0，a_4=\frac{ε-4-1}{3･4}\frac{ε-1}{1･2}a_0，a_6=-\frac{ε-8-1}{5･6}\frac{ε-4-1}{3･4}\frac{ε-1}{1･2}a_0,･･･$$
$$\hspace{20mm}a_3=-\frac{ε-2-1}{2･3}a_1，a_5=\frac{ε-6-1}{4･5}\frac{ε-2-1}{2･3}a_1，a_7=-\frac{ε-10-1}{6･7}\frac{ε-6-1}{4･5}\frac{ε-2-1}{2･3}a_1,･･･$$
となり
$$\hspace{20mm}H(ξ)=\sum_{k=0}^{∞} a_kξ^k$$
$$\hspace{33mm}=a_0(1-\frac{ε-1}{1･2}ξ^2+\frac{ε-4-1}{3･4}\frac{ε-1}{1･2}ξ^4-\frac{ε-8-1}{5･6}\frac{ε-4-1}{3･4}\frac{ε-1}{1･2}ξ^6+････)$$
$$\hspace{50mm}+a_1(ξ-\frac{ε-2-1}{2･3}ξ^3+\frac{ε-6-1}{4･5}\frac{ε-2-1}{2･3}ξ^5-\frac{ε-10-1}{6･7}\frac{ε-6-1}{4･5}\frac{ε-2-1}{2･3}ξ^7+････)$$
となる。
更に$H(ξ)$が$k→∞$で発散しないためには、ある$n$のところで$a_n=0$になる必要があり、かつその$n$が偶数の場合$a_1=0$に$n$が奇数の場合$a_0=0$になる必要がある。
ここで、ある$n$のところで$a_n=0$にするために、$ε=2n+1$とおくと
$H_{n=0}(ξ)=a_0$
$H_{n=1}(ξ)=a_1ξ$
$H_{n=2}(ξ)=a_0(1-\frac{4}{1･2}ξ^2)$
$H_{n=3}(ξ)=a_1(ξ-\frac{4}{2･3}ξ^3)$
$H_{n=4}(ξ)=a_0(1-\frac{8}{1･2}ξ^2+\frac{8}{1･2}\frac{4}{3･4}ξ^4)$
$H_{n=5}(ξ)=a_1(ξ-\frac{8}{2･3}ξ^3+\frac{8}{1･2}\frac{4}{4･5}ξ^5)$
・・・ ・・・ ・・・ ・・・
となり、これは$Hermite$の多項式である。
規格化係数($A_n$)を考慮して④式を書き直すと
$φ=A_nH_n(ξ)e^{-\frac{ξ^2}{2}}$ となり、かつ $ε=2n+1$ であるが、
これに$ξ$を元に戻すと
$ψ(x)=A_nH_n(\sqrt{\frac{mω}{ℏ}}x)e^{-\frac{ξ^2}{2}}$ となる。 ・・・・・・⑥
さらに$ε$を戻すと、
$$\hspace{20mm}E=\frac{ℏω}{2}ε=\frac{ℏω}{2}(2n+1)=ℏω(n+\frac{1}{2})=hν(n+\frac{1}{2})$$
・・・・・・⑦
となる。