調和振動子のハミルトニアン
調和振動子のハミルトニアンは
$H(x,p)=\frac{p^2}{2m}+\frac{mω^2x^2}{2} $
これを正準量子化すると
$\hat{H}(\hat{x},\hat{p})=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{mω^2\hat{x}^2}{2} $
ここで
$[\hat{x},\hat{p}]=iℏ$
$\hat{x}^\dagger=\hat{x} ，\hat{p}^\dagger=\hat{p}$
ハミルトニアンの式を変形していく
$\hat{H}(\hat{x},\hat{p})=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{mω^2\hat{x}^2}{2} $
$=\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}-i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})+\frac{1}{2}(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}-i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})$
$=\frac{ℏω}{2}(\hat{a}\hat{a}^\dagger+\hat{a}^\dagger\hat{a})$
$=ℏω(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2})$ ( $∵ \hat{a}\hat{a}^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}+1 )$
但し、
$\hat{a}=\sqrt{\frac{mω}{2ℏ}}\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2mℏω}}$ ，$\hat{a}^\dagger=\sqrt{\frac{mω}{2ℏ}}\hat{x}-i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2mℏω}}$ と定義する。
$[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}\hat{a}^\dagger-\hat{a}^\dagger\hat{a}$
$=(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}-i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})-(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})(\sqrt{\frac{m}{2}}ω\hat{x}+i\frac{\hat{p}}{\sqrt{2m}})$
$=(\frac{mω}{2ℏ}\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{2mℏω}+\frac{i}{2ℏ}\hat{p}\hat{x}-\frac{i}{2ℏ}\hat{x}\hat{p})-(\frac{mω}{2ℏ}\hat{x}^2+\frac{\hat{p}^2}{2mℏω}-\frac{i}{2ℏ}\hat{p}\hat{x}+\frac{i}{2ℏ}\hat{x}\hat{p})$
$=-\frac{i}{ℏ}[\hat{x},\hat{p}]=1$
よって $[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1$
（同様に $[\hat{a},\hat{H}]=ℏω\hat{a}$ ，$[\hat{a}^\dagger,\hat{H}]=-ℏω\hat{a}^\dagger$ ，$[\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a}$ ，$[\hat{N},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}^\dagger$ が求まる）
さらに $\hat{N}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$として、$\hat{a}^\dagger\hat{a}$を一つの演算子$\hat{N}$とすると
$\hat{H}=ℏω(\hat{N}+\frac{1}{2})$
このとき
$\hat{N}^\dagger=(\hat{a}^\dagger\hat{a})^\dagger=\hat{a}^\dagger(\hat{a}^\dagger)^\dagger=\hat{a}^\dagger\hat{a}=\hat{N}$ であり、$\hat{N}$はエルミート演算子である
消滅生成演算子
$\hat{N}\ket{n}=n\ket{n}$ とする
このとき
$\hat{N}\hat{a}\ket{n}=(\hat{a}\hat{N}-\hat{a})\ket{n}$ $( ∵ [\hat{N},\hat{a}]=-\hat{a} )$
$=\hat{a}\hat{N}\ket{n}-\hat{a}\ket{n}$
$=\hat{a}n\ket{n}-\hat{a}\ket{n}$
$=(n-1)\hat{a}\ket{n}$ ∴ $\hat{N}\hat{a}\ket{n}=(n-1)\hat{a}\ket{n}$
よってベクトル$\hat{a}\ket{n}$は$\hat{N}$の固有値$n-1$に属する固有ベクトルとなるが、
$\hat{N}$はエルミート演算子であるから、$\hat{a}\ket{n}$は同一固有値に属する固有ベクトルの$\ket{n-1}$と方向が一致する
よって
$\hat{a}\ket{n}=c\ket{n-1}$
$\bra{n}\hat{a}^\dagger\hat{a}\ket{n}=\bra{n-1}c^{*}c\ket{n-1}$
$\bra{n}\hat{N}\ket{n}=|c|^2\langle n-1 | n-1 \rangle$
$\bra{n}n\ket{n}=|c|^2$
∴ $c=\sqrt{n}$
以上から
$\hat{a}\ket{n}=\sqrt{n}\ket{n-1}$
同様に
$\hat{N}\hat{a}^\dagger\ket{n}=(\hat{a}^\dagger\hat{N}+\hat{a})^\dagger\ket{n}$ $( ∵ [\hat{N},\hat{a}^\dagger]=\hat{a}^\dagger )$
$=\hat{a}^\dagger\hat{N}\ket{n}+\hat{a}^\dagger\ket{n}$
$=\hat{a}^\dagger n\ket{n}+\hat{a}^\dagger\ket{n}$
$=(n+1)\hat{a}^\dagger\ket{n}$ ∴ $\hat{N}\hat{a}^\dagger\ket{n}=(n+1)\hat{a}^\dagger\ket{n}$
$\hat{N}$はエルミート演算子であるから、同一固有値$n+1$に属する固有ベクトル$\hat{a}^\dagger\ket{n}$と$\ket{n+1}$とは方向が一致する
よって
$\hat{a}^\dagger\ket{n}=c\ket{n+1}$
$\bra{n}\hat{a}\hat{a}^\dagger\ket{n}=\bra{n+1}c^{*}c\ket{n+1}$
$\bra{n}(\hat{a}^\dagger\hat{a}+1)\ket{n}=|c|^2\langle n+1 | n+1 \rangle$
$\bra{n}\hat{N}+1\ket{n}=|c|^2$
$\bra{n}n+1\ket{n}=|c|^2$
∴ $c=\sqrt{n+1}$
以上から
$\hat{a}^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}$
$\hat{N}$を数演算子、$\hat{a}$を消滅演算子、$\hat{a}^\dagger$を生成演算子という。