$Maxwell$方程式の電磁ポテンシャル表現

　　　　　残り二つの$Maxwell$方程式

　　　　　　　$\Div{D(x,t)}=ρ_ε(x,t)$
　　　　　　　$\Rot{H(x,t)}-\frac{\partial D}{\partial t}=i(x,t)$

　　　　　に対して、これらを$E$と$B$で表すと

　　　　　　　$\Div{E(x,t)}=\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$ 　　　　　　　　　　　　 (∵　$D=εE$)
　　　　　　　$\Rot{B(x,t)}-εμ\frac{\partial E(x,t)}{\partial t}=μi(x,t)$ 　　　　　 (∵　$B=μH$)

　　　　　一方
　　　　　　　$\Div{E(x,t)}=-\Div{(\Grad{φ(x,t)}+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t})}$
　　　　　　　　　　　　　$=-\nabla^2φ(x,t)-\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})$

　　　　　　　∴　$\nabla^2φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$

　　　　　　　
　　　　　　　$\Rot{B(x,t)}-εμ\frac{\partial E(x,t)}{\partial t}$
　　　　　　　　　　　　　$=\Rot{\Rot{A(x,t)}}+εμ\frac{\partial}{\partial t}\Grad{φ(x,t)}+εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} A(x,t)$
　　　　　　　　　　　　　$=\Grad{\Div{A(x,t)}}-\nabla^2A(x,t)+εμ\frac{\partial}{\partial t}\Grad{φ(x,t)}+εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} A(x,t)$　　　（恒等式　$\Rot{\Rot{A}}=\Grad{\Div{A}}-\nabla^2$　による）
　　　　　　　　　　　　　$=-[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2}] A(x,t)+\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}$

　　　　　　　∴　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}=-μi(x,t)$

　　　　　結局、$Maxwell$方程式を電磁ポテンシャルで表現すると、

　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}=-μi(x,t)$

　　　　　となる。

　　　　　なお、電荷密度$ρ_ε$と電流密度$i$の間には次式の電荷保存則が成り立つ。

　　　　　　　$\frac{\partial ρ_ε(x,t)}{\partial t}+\Div{i(x,t)}=0$

　　$Maxwell$方程式の相対論的記述

　　　　　$Maxwell$方程式を電磁ポテンシャルで表現した下記２式において、

　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})=-\frac{ρ(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}=-μi(x,t)$

　　　　　第一の式に２つの項を追加して式変更し、

　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})φ(x,t)+\Div{\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 φ(x,t)}{\partial t^2}=-\frac{ρ(x,t)}{ε_0}$ 　　　（但し真空中として　$ε_0μ_0=\frac{1}{c^2}$）

　　　　　後ろの項の時間微分を括り出し、

　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t}[\Div{A(x,t)}+\frac{1}{c^2}\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}]=-\frac{ρ(x,t)}{ε_0}$

　　　　　両辺を$c$で割る。

　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})\frac{φ(x,t)}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}(\Div{A(x,t)}+\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} (\frac{φ(x,t)}{c}) )=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε_0 c}$

　　　　　ここで、電磁ポテンシャルと電流密度を以下の四次元量に拡張し、

　　　　　　　$A=(\frac{φ}{c},A_x,A_y,A_z)=(A^0,A^1,A^2,A^3)$
　　　　　　　$i=(cρ,i_x,i_y,i_z)=(i^0,i^1,i^2,i^3)$

　　　　　その０次元を適用する。

　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})A^0+\frac{\partial}{\partial w}(\Div{A}+\frac{\partial}{\partial w}A^0 )=-\frac{i^0}{ε_0c^2}=-μ_0i^0$ 　　（但し、$\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial w}$）

　　　　　次に第二の式に１から３次元を適用すると、

　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})A^1+\frac{\partial}{\partial x}(\Div{A}+\frac{\partial}{\partial w}A^0 )=-μ_0i^1$
　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})A^2+\frac{\partial}{\partial y}(\Div{A}+\frac{\partial}{\partial w}A^0 )=-μ_0i^2$
　　　　　　　$(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2})A^3+\frac{\partial}{\partial z}(\Div{A}+\frac{\partial}{\partial w}A^0 )=-μ_0i^3$

　　　　　となり、以上の４式を一つの式に集約（４元ポテンシャル表現）すると、

　　　　　　　$□A^μ-\partial^μ\partial_νA^ν=-μ_0i^μ$

　　　　　となる。(　但し　　$□≡\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}$　、$\partial_i≡\frac{\partial}{\partial x^i}$　)