ベクトルポテンシャルの任意性とゲージ変換

　　　　　$f$を任意のスカラー関数として

　　　　　恒等式　$\Rot$ $\Grad{f}=0$　を得る。

　　　　　これを　$B(x,t)=\Rot{A(x,t)} $　に加える。

　　　　　　　$B(x,t)=\Rot{A(x,t)}$
　　　　　　　　　　$=\Rot{A(x,t)}+\Rot{\Grad{f}}$
　　　　　　　　　　$=\Rot{[A(x,t)+\Grad{f}]}$

　　　　　これはベクトルポテンシャル$A$を、$A^´=A+\Grad{f}$に変換することに該当する。

　　　　　　　$A$　→　$A^´=A+\Grad{f}$　,$B^´=\Rot{A^´}$

　　　　　同様にスカラーポテンシャルを

　　　　　　　$φ$　→　$φ^´=φ-\frac{\partial f}{\partial t}$　と変更する。

　　　　　よって
　　　　　　　$E^´=-\Grad{φ^´}-\frac{\partial A^´}{\partial t}=-\Grad{(φ-\frac{\partial f}{\partial t})}-\frac{\partial A^´}{\partial t}$

　　　　　$E^´$を、変換後の$Maxwell$方程式に代入する。

　　　　　　　$\Rot{E^´}+\frac{\partial B^´}{\partial t}$
　　　　　　　　　$=\Rot{E^´}+\frac{\partial}{\partial t}\Rot{A^´}$
　　　　　　　　　$=\Rot{(E^´+\frac{\partial A^´}{\partial t})}$
　　　　　　　　　$=\Rot{[-\Grad{(φ-\frac{\partial f}{\partial t})}]}$
　　　　　　　　　$=-\Rot$ $\Grad{(φ-\frac{\partial f}{\partial t})}$
　　　　　　　　　$=0$

　　　　　以上のことから、ベクトルポテンシャルを　$A$　→　$A^´=A+\Grad{f}$　へ、スカラーポテンシャルを　$φ$　→　$φ^´=φ-\frac{\partial f}{\partial t}$　へと
　　　　　それぞれ変換しても、電磁誘導の$Maxwell$方程式は成立する。この変換ンをゲージ変換という。

　　ローレンツゲージ

　　　　　電磁ポテンシャルのゲージ変換　$A$　→　$A^´=A+\Grad{f}$　，$φ$　→　$φ^´=φ-\frac{\partial f}{\partial t}$　において　$f$　をうまく選ぶことにより

　　　　　　　$\Div{A}+εμ\frac{\partial φ}{\partial t}=0$　→　$\Div{A^´}+εμ\frac{\partial φ^´}{\partial t}=0$

　　　　　となるようにする。これをローレンツ条件と呼ぶ。

　　　　　電磁ポテンシャル$(φ^´,A^´)$がローレンツ条件を満足せず、

　　　　　　　$\Div{A^´}+εμ\frac{\partial φ^´}{\partial t}=g≠0$　の場合、ゲージ変換で$(φ,A)$に戻すと、

　　　　　　　$\Div{A}+\Div\Grad{f}+εμ\frac{\partial φ}{\partial t}-εμ\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=g$

　　　　　　∴　$\Div{A}+εμ\frac{\partial φ}{\partial t}=g-(\nabla^2f-εμ\frac{\partial^2 f}{\partial t^2})$

　　　　　従って、ローレンツ条件を満足させる$f$の条件は　$\nabla^2f-εμ\frac{\partial^2 f}{\partial t^2}=g$　である。

　　　　　$Maxwell$方程式にローレンツ条件　$\Div{A}+εμ\frac{\partial φ}{\partial t}=0$　を代入する。

　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})=[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2}]φ(x,t)=-\frac{ρ_ε}{ε}$

　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}=[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)=-μi(x,t)$

　　　　　よって、
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2}]φ(x,t)=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)=-μi(x,t)$

　　　　　となり、ローレンツゲージにおける電磁ポテンシャル$(φ,A)$を用いた$Maxwell$方程式となる。

　　　　　ここで左辺に現れる波動方程式の演算子　$(\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} )$　は、ダランベール演算子と呼ばれる。

　　　　　この２式から$ρ_ε(x,t)$の時間による偏微分と$i(x,t)$の発散を求め、

　　　　　　　$ρ_ε(x,t)=-\nabla^2φ(x,t)+ε^2μ\frac{\partial^2}{\partial t^2}φ(x,t)$
　　　　　　　∴　$\frac{\partial ρ_ε(x,t)}{\partial t}=-ε\nabla^2\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}+ε^2μ\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}$

　　　　　　　$i(x,t)=-\frac{1}{μ}\nabla^2 A(x,t)+ε\frac{\partial^2}{\partial t^2}A(x,t)$
　　　　　　　∴　$\Div{i(x,t)}=-\frac{1}{μ}\nabla^2\Div{A(x,t)}+ε\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Div{A(x,t)}$

　　　　　電荷保存則の式　$\frac{\partial ρ_ε(x,t)}{\partial t}+\Div{i(x,t)}=0$　の左辺に代入すると

　　　　　　　$\frac{\partial ρ_ε(x,t)}{\partial t}+\Div{i(x,t)}=-ε\nabla^2\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}+ε^2μ\frac{\partial^2}{\partial t^2}\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}-\frac{1}{μ}\nabla^2\Div{A(x,t)}+ε\frac{\partial^2}{\partial t^2}\Div{A(x,t)}$
　　　　　　　　　　　　　　　　$=\nabla^2(-ε\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}-\frac{1}{μ}\Div{A(x,t)})+\frac{\partial^2}{\partial t^2}(ε^2μ\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}+ε\Div{A(x,t)})$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=-\frac{1}{μ}(\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2})(\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t})$　となり

　　　　　ローレンツ条件　$\Div{A}+εμ\frac{\partial φ}{\partial t}=0$　が成立していれば、電荷保存則も満足されていることになる。

　　　　　以上からローレンツゲージにおける$Maxwell$方程式は、

　　　　　　　$\Div{A}+εμ\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}=0$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2}]φ(x,t)=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)=-μi(x,t)$

　　　　　となる。

　　クーロンゲージ

　　　　　電磁ポテンシャルのゲージ変換　$A$　→　$A^´=A+\Grad{f}$　，$φ$　→　$φ^´=φ-\frac{\partial f}{\partial t}$　において　$f$　をうまく選ぶことにより

　　　　　　　$\Div{A}=0$　→　$\Div{A^´}=0$

　　　　　となるようにする。これをクーロン条件と呼ぶ。

　　　　　電磁ポテンシャル$(φ^´,A^´)$がクーロン条件を満足せず、

　　　　　　　$\Div{A^´}=g≠0$　の場合、ゲージ変換で$(φ,A)$に戻すと、

　　　　　　　$\Div{A}+\Div\Grad{f}=g$

　　　　　　∴　$\Div{A}=g-\nabla^2f$

　　　　　従って、クーロン条件を満足させる$f$の条件は　$\nabla^2f=g$　である。

　　　　　$Maxwell$方程式にクーロン条件　$\Div{A}=0$　を代入する。

　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)+\frac{\partial}{\partial t} (\Div{A(x,t)})=\nabla^2φ(x,t)=-\frac{ρ_ε}{ε}$

　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-\Grad{[\Div{A(x,t)}+εμ\frac{\partial}{\partial t}φ(x,t)]}=[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)-εμ\nabla\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}=-μi(x,t)$

　　　　　よって、
　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)=-μ[i(x,t)-ε\nabla\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}]$

　　　　　が得られる。

　　　　　以上からクーロンゲージにおける$Maxwell$方程式は、

　　　　　　　$\Div{A}=0$
　　　　　　　$\nabla^2φ(x,t)=-\frac{ρ_ε(x,t)}{ε}$
　　　　　　　$[\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} ]A(x,t)=-μ[i(x,t)-ε\nabla\frac{\partial φ(x,t)}{\partial t}]$

　　　　　となる。