時間発展演算子

　　　　時間に依存する電磁場演算子を下記に示す。

　　　　　　　$\hat{E}(r,t)=i\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum^2_{σ=1}\sqrt{\frac{ℏω_k}{2ε_0}}ｅ_{kσ}\biggl[\hat{a}_{kσ}e^{i(k･r-ω_kt)}-\hat{a}^\dagger_{kσ}e^{-i(k･r-ω_kt)}\biggr]dk\ $　・・・・・・・・①

　　　　　　　$\hat{B}(r,t)=i\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum^2_{σ=1}\sqrt{\frac{ℏ}{2ε_0ω_k}}　k×ｅ_{kσ}\biggl[\hat{a}_{kσ}e^{i(k･r-ω_kt)}-\hat{a}^\dagger_{kσ}e^{-i(k･r-ω_kt)}\biggr]dk$　・・・・②

　　　　今、次のようなエルミート演算子$\ \hat{x}_{kσ},\hat{p}_{kσ}$を定義する。

　　　　　　　$\hat{x}_{kσ}=\displaystyle\sqrt{\frac{ℏ}{2ω_k}}\biggl(\hat{a}_{kσ}+\hat{a}^\dagger_{kσ}\biggr)\ $　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・③

　　　　　　　$\hat{p}_{kσ}=-i\displaystyle\sqrt{\frac{ℏω_k}{2}}\biggl(\hat{a}_{kσ}-\hat{a}^\dagger_{kσ}\biggr)$　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・④

　　　　$\hat{x}_{kσ}$と$\hat{p}_{kσ}$の交換関係は$\ [\hat{a}_{kσ},\hat{a}^\dagger_{k^´σ^´}]=δ(k-k^´)\ $より

　　　　　　　$[\hat{x}_{kσ},\hat{p}_{k^´σ^´}]=\hat{x}_{kσ}\hat{p}_{kσ}-\hat{p}_{kσ}\hat{x}_{kσ}$
　　　　　　　　　　　　$\ =-i\frac{ℏ}{2}\biggl(\hat{a}^2_{kσ}-\hat{a}_{kσ}\hat{a}^\dagger_{kσ}+\hat{a}^\dagger_{kσ}\hat{a}_{kσ}-\hat{a^\dagger}_{kσ}^2\biggr)+i\frac{ℏ}{2}\biggl(\hat{a}^2_{kσ}+\hat{a}_{kσ}\hat{a}^\dagger_{kσ}-\hat{a}^\dagger_{kσ}\hat{a}_{kσ}-\hat{a^\dagger}_{kσ}^2\biggr)$
　　　　　　　　　　　　$\ =i\frac{ℏ}{2}\biggl(-\hat{a}^2_{kσ}+1+\hat{a^\dagger}_{kσ}^2+\hat{a}^2_{kσ}+1-\hat{a^\dagger}_{kσ}^2\biggr)$
　　　　　　　　　　　　$\ =iℏ$

　　　　　　　よって　$[\hat{x}_{kσ},\hat{p}_{k^´σ^´}]=iℏδ(k-k^´)$　となり、$\hat{x}_{kσ}$と$\hat{p}_{kσ}$は正準変数としての交換関係を満たす。

　　　　ここで③と④を逆に解くと

　　　　　　　$\hat{a}_{kσ}=\displaystyle\sqrt{\frac{ω_k}{2ℏ}}\hat{x}_{kσ}+i\displaystyle\sqrt{\frac{1}{2ℏω_k}}\hat{p}_{kσ}$

　　　　　　　$\hat{a}^\dagger_{kσ}=\displaystyle\sqrt{\frac{ω_k}{2ℏ}}\hat{x}_{kσ}-i\displaystyle\sqrt{\frac{1}{2ℏω_k}}\hat{p}_{kσ}$

　　　　となり、これらは調和振動子における消滅生成演算子の$m$が1の場合の式になる。

　　　　従って、$\hat{x}_{kσ}$と$\hat{p}_{kσ}$を調和振動子の場合と同様「位置」や「運動量」のように扱うことにする。


　　シングルモードへ

　　　　ただ一つのモード$kσ$のみが存在するモードをシングルモードと言いレーザーなどに適用される。

　　　　シングルモードでは$kσ=k^´σ^´$であるから、$\hat{a}$の交換関係も、$\ [\hat{a}_{kσ},\hat{a}^\dagger_{k^´σ^´}]=δ(k-k^´)　☛　[\hat{a},\hat{a}^\dagger]=1\ $となる。

　　　　また適当な単位系を仮定すれば、例えば$ℏ=\frac{1}{2},ω=1$とすることで以下のように式を簡略化する。

　　　　　　　$\hat{a}=\hat{x}+i\hat{p}\ $　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑤

　　　　　　　$\hat{a}^\dagger=\hat{x}-i\hat{p}$　・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・⑥

　　　　①②⑤⑥よりシングルモードの電磁場は(ただし簡易的に$ε_0$及び係数を1としている)

　　　　　　　$\hat{E}(r,t)=\frac{i}{2}ｅ\biggl[\hat{a}e^{i(k･r-ωt)}-\hat{a}^\dagger e^{-i(k･r-ωt)}\biggr]$

　　　　　　　　　　　$=-ｅ\biggl[\hat{x}sin(k･r-ωt)+\hat{p}cos(k･r-ωt)\biggr]$・・・・・・・・・・・⑦

　　　　　　　$\hat{B}(r,t)=\frac{i}{2}k×ｅ\biggl[\hat{a}e^{i(k･r-ωt)}-\hat{a}^\dagger e^{-i(k･r-ωt)}\biggr]$

　　　　　　　　　　　$=-k×ｅ\biggl[\hat{x}sin(k･r-ωt)+\hat{p}cos(k･r-ωt)\biggr]$・・・・・・・・・・・⑧

　　　　またハミルトニアンは

　　　　　　　$\hat{H}=\displaystyle\int\sum^2_{σ=1}\frac{ℏω_k}{2}\biggl(\hat{a}^\dagger_{kσ}\hat{a}_{kσ}+\hat{a}_{kσ}\hat{a}^\dagger_{kσ}\biggr)dk ⇒\displaystyle\frac{ℏω}{2}\biggl(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\hat{a}\hat{a}^\dagger\biggr)=ℏω\biggl(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\biggr)$

　　　　よってシングルモードのハミルトニアンは

　　　　　　　$\hat{H}=ℏω\biggl(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\displaystyle\frac{1}{2}\biggr)$

　　　　屈折率$n$の媒質中でのハミルトニアンは

　　　　　　　$\hat{H}=ℏω_n\biggl(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\biggr)=\displaystyle\frac{ℏω}{n}\biggl(\hat{a}^\dagger\hat{a}+\frac{1}{2}\biggr)$

　　　　となる。

　　　　なお、⑦⑧式から電磁波である光は$sin$成分と$cos$成分に分解できることがわかる。

　　　　$sin$波と$cos$波は位相差90度の関係にあり、この関係は調和振動子における位置と運動量の関係と一致する。

　　　　そこで、光の$sin$成分と$cos$成分の間にも、位置と運動量の関係と同様の関係があるものと考えれば、

　　　　位置と運動量の関係（正準共役）を光の$sin$成分と$cos$成分に置き換えることができる。