ビームスプリッターの入出力関係


　　　　2入力2出力のビームスプリッター$B$が$\hat{a}_1,\hat{a}_2$を入力し$\hat{a}^´_1,\hat{a}^´_2$を出力する場合、

　　　　その入出力関係は、$B$を2行2列の行列として

　　　　　　　　　　$ \begin{bmatrix} \hat{a}^´_1\\ \hat{a}^´_2 \end{bmatrix} =B \begin{bmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{bmatrix} $

　　　　　　　　　　　　　$= \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{a}_1\\ \hat{a}_2 \end{bmatrix} $

　　　　　　　　　　　　　$= \begin{bmatrix} B_{11}\hat{a}_1+B_{12}\hat{a}_2\\ B_{21}\hat{a}_1+B_{22}\hat{a}_2\\ \end{bmatrix} $

　　　　となり、これから
　　　　　　　　　　$\hat{a}^´_1=B_{11}\hat{a}_1+B_{12}\hat{a}_2$
　　　　　　　　　　$\hat{a}^´_2=B_{21}\hat{a}_1+B_{22}\hat{a}_2$

　　　　得られ、これから更に
　　　　　　　　　　$\hat{a}^{´\dagger}_1=B^*_{11}\hat{a}^\dagger_1+B^*_{12}\hat{a}^\dagger_2$
　　　　　　　　　　$\hat{a}^{´\dagger}_2=B^*_{21}\hat{a}^\dagger_1+B^*_{22}\hat{a}^\dagger_2$

　　　　が得られるが、

　　　　$B$は任意の行列ではなく、入出力間でエネルギー保存の要請があるため、$B$の行列要素間に次式を満足する必要がある。

　　　　　　　　　　$\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_1+\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_2=\hat{a}^{´\dagger}_1\hat{a}^´_1+\hat{a}^{´\dagger}_2\hat{a}^´_2$

　　　　上式の右辺に前式を代入する。

　　　　　　　　　　$\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_1+\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_2= (B^*_{11}\hat{a}^\dagger_1+B^*_{12}\hat{a}^\dagger_2)(B_{11}\hat{a}_1+B_{12}\hat{a}_2)+ (B^*_{21}\hat{a}^\dagger_1+B^*_{22}\hat{a}^\dagger_2)(B_{21}\hat{a}_1+B_{22}\hat{a}_2)$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=|B_{11}|^2\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_1+B^*_{11}B_{12}\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_2+B^*_{12}B_{11}\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_1 |B_{12}|^2\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_2+|B_{21}|^2\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_1+ B^*_{21} B_{22}\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_2+B^*_{22} B_{21}\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_1+|B_{22}|^2\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_2$

　　　　　　　　　　　　　　　　$=(|B_{11}|^2+|B_{21}|^2)\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_1+(|B_{12}|^2+|B_{22}|^2)\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_2+ (B^*_{11}B_{12}+B^*_{21}B_{22})\hat{a}^\dagger_1\hat{a}_2+(B^*_{12}B_{11}+B^*_{22}B_{21})\hat{a}^\dagger_2\hat{a}_1$

　　　　よってエネルギー保存用件を満たすためには

　　　　　　　　　　　　　　　　$|B_{11}|^2+|B_{21}|^2=|B_{12}|^2+|B_{22}|^2=1$

　　　　　　　　　　　　　　　　$B^*_{11}B_{12}+B^*_{21}B_{22}=B^*_{12}B_{11}+B^*_{22}B_{21}=0$

　　　　が必要条件となるが、このことは行列$B$がユニタリーであるための次式の条件と一致している。

　　　　　　　　　　$B^{\dagger}B= \begin{bmatrix} B^*_{11} & B^*_{21}\\ B^*_{12} & B^*_{22}\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12}\\ B_{21} & B_{22}\\ \end{bmatrix} $

　　　　　　　　　　　　　$= \begin{bmatrix} B^*_{11}B_{11}+B^*_{21}B_{21} & B^*_{11}B_{12}+B^*_{21}B_{22}\\ B^*_{12}B_{11}+B^*_{22}B_{21} & B^*_{12}B_{12}+B^*_{22}B_{22}\\ \end{bmatrix} $

　　　　　　　　　　　　　$= \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\\ \end{bmatrix} $


　　　　以上、ビームスプリッターの入出力におけるエネルギー保存の必要性から、入出力関係を表す行列$B$がユニタリー行列であることを導ける。