ビームスプリッターのユニタリー変換
任意のユニタリー行列は、$Λ,ψ,θ,φ$を任意の定数として、次式のように展開できる。
$B=e^{\frac{iΛ}{2}}
\begin{bmatrix}
e^{\frac{iψ}{2}} & 0\\
0 & e^{-\frac{iψ}{2}}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
cos\frac{θ}{2} & sin\frac{θ}{2}\\
-sin\frac{θ}{2} & cos\frac{θ}{2}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
e^{\frac{iφ}{2}} & 0\\
0 & e^{-\frac{iφ}{2}}\\
\end{bmatrix}
$
$Λ=0$とおくと
$B= \begin{bmatrix}
cos\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ+φ)}{2}} & sin\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ-φ)}{2}}\\
-sin\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ-φ)}{2}} & cos\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ+φ)}{2}}\\
\end{bmatrix}
$
透過率を$T$、反射率を$R$とすると、$\sqrt{T}=cos\frac{θ}{2},\sqrt{R}=-sin\frac{θ}{2},T+R=1$ の関係があることを利用すると
$\hat{a}^´_1=cos\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}_1+sin\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}_2
=\sqrt{T}e^{\frac{i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}_1-\sqrt{R}e^{\frac{i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}_2$
$\hat{a}^´_2=-sin\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}_1+cos\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}_2
=\sqrt{R}e^{\frac{-i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}_1+\sqrt{T}e^{\frac{-i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}_2$
$\hat{a}^{´\dagger}_1=cos\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_1+sin\frac{θ}{2}e^{\frac{-i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_2
=\sqrt{T}e^{\frac{-i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_1-\sqrt{R}e^{\frac{-i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_2$
$\hat{a}^{´\dagger}_2=-sin\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_1+cos\frac{θ}{2}e^{\frac{i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_2
=\sqrt{R}e^{\frac{i(ψ-φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_1+\sqrt{T}e^{\frac{i(ψ+φ)}{2}}\hat{a}^{\dagger}_2$
それぞれのモードの全エネルギーに相当する光子数は
$\hat{a}^{´\dagger}_1\hat{a}^´_1=T\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_1+(1-T)\hat{a}^{\dagger}_2\hat{a}_2
-\sqrt{T(1-T)}(e^{-iφ}\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_2+e^{iφ}\hat{a}_1\hat{a}^{\dagger}_2)$
$\hat{a}^{´\dagger}_2\hat{a}^´_2=(1-T)\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_1+T\hat{a}^{\dagger}_2\hat{a}_2
+\sqrt{T(1-T)}(e^{-iφ}\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_2+e^{iφ}\hat{a}_1\hat{a}^{\dagger}_2)$
上式のそれぞれ第2項までは位相変化のハミルトニアンに相当するので、ビームスプリッターのハミルトニアンは第3項のみを考慮すればよく
仮にビームスプリッターのハミルトニアンを次式で表すことにする。
$\hat{H}_{BS}=\frac{1}{2}(e^{-iφ}\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_2+e^{iφ}\hat{a}_1\hat{a}^{\dagger}_2)$
ここで $φ=\frac{π}{2}$と置くと
$\hat{H}_{BS}=\frac{1}{2i}(\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_2-\hat{a}_1\hat{a}^{\dagger}_2)$
となり、この$\hat{H}_{BS}$は次式を満足するが
$\displaystyle
e^{-iθ\hat{H}_{BS}}
\begin{bmatrix}
\hat{a}_1 \\
\hat{a}_2 \\
\end{bmatrix}
e^{iθ\hat{H}_{BS}}
=\begin{bmatrix}
cos\frac{θ}{2} & sin\frac{θ}{2}\\
-sin\frac{θ}{2} & cos\frac{θ}{2}\\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
\hat{a}_1 \\
\hat{a}_2 \\
\end{bmatrix}$
これは $θ=-\frac{t}{ℏ}$とすると、$\hat{H}_{BS}$をビームスプリッターのハミルトニアンとした場合の時間発展の式に見えるので
$\hat{H}_{BS}=\frac{1}{2i}(\hat{a}^{\dagger}_1\hat{a}_2-\hat{a}_1\hat{a}^{\dagger}_2)$
を、ビームスプリッターのハミルトニアンと言って問題ない