コヒーレント状態


　　　　シングルモードにおける消滅演算子の固有状態をコヒーレント状態という。

　　　　コヒーレント状態を$\ket{α}$とすると、

　　　　　　　　　　$\hat{a}\ket{α}=α\bra{α}$
　　　　　　　　　　$\bra{α}\hat{a}^\dagger=\bra{α}α^*$

　　　　光子数演算子　$\hat{n}=\hat{a}^\dagger\hat{a}$　の固有状態$\ket{n}$は基底を成すので、コヒーレント状態$\ket{α}$は$\ket{n}$で展開できる。

　　　　　　　　　　$\ket{α}=\displaystyle\sum_{n=0}^∞ω_n\ket{n}$

　　　　　　　　　　$\hat{a}\ket{α}=α\ket{α}=\displaystyle\sum_{n=0}^∞αω_n\ket{n}$

　　　　一方
　　　　　　　　　　$\hat{a}\ket{α}=\displaystyle\sum_{n=0}^∞ω_n\hat{a}\ket{n}=\sum_{n=0}^∞ω_n\sqrt{n}\ket{n-1}$

　　　　上記2式のそれぞれの最右辺に$\bra{m}$を作用させると

　　　　　　　　　　$\bra{m}\displaystyle\sum_{n=0}^∞ω_n\sqrt{n}\ket{n-1}=\bra{m}\sum_{n=0}^∞αω_n\ket{n}$

　　　　よって
　　　　　　　　　　$ω_{m+1}\sqrt{m+1}=αω_m$

　　　　となるから
　　　　　　　　　　$ω_m=\displaystyle\frac{α}{\sqrt{m}}ω_{m-1}=\frac{α}{\sqrt{m}}･\frac{α}{\sqrt{m-1}}･･････\frac{α}{1}ω_0$

　　　　　　　　　　　　$=\displaystyle\frac{α^m}{\sqrt{m!}}ω_0$

　　　　ここで
　　　　　　　　　　$\displaystyle\sum_{n=0}^∞\left|ω_m\right|^2=\sum_{n=0}^∞\frac{(|α|^2)^m}{m!}ω_0^2$

　　　　　　　　　　　　　　　$=e^{|α|^2}ω_0^2$　　　　$\biggl($　指数関数のﾃｰﾗｰ展開 $\biggr)$

　　　　　　　　　　　　　　　$=1$　　　　　　$\biggl($　規格化条件 $\biggr)$

　　　　よって
　　　　　　　　　　$ω_0=e^{-\frac{|α|^2}{2}}$

　　　　より
　　　　　　　　　　$ω_n=\displaystyle\frac{α^n}{\sqrt{n!}}e^{-\frac{|α|^2}{2}}$

　　　　以上から
　　　　　　　　　　$\ket{α}=\displaystyle e^{-\frac{|α|^2}{2}}\sum_{n=0}^∞\frac{α^n}{\sqrt{n!}}\ket{n}$