コヒーレント状態を生成するハミルトニアン


　　　　調和振動子における基底状態　$u_0(x)=A_0e^{(-\frac{1}{2}\frac{mω}{ℏ}x^2)}$　はガウス分布関数であるからコヒーレント状態である。

　　　　波動関数をガウス分布関数に保ったまま基底状態から変形できれば、基底状態以外の最小不確定性状態、

　　　　すなわち基底状態以外のコヒーレント状態を構成できる。

　　　　今、$\overline{x}$を実数パラメータとして $\hat{T}(\overline{x})=e^{(\frac{\overline{x}}{iℏ}\hat{p})}$　で与えられる演算子を考える。

　　　　任意の状態　$\displaystyle\ket{u}=\int\ket{x}u(x)dx$　に対してこの演算子を作用させると

　　　　　　$\displaystyle\hat{T}(\overline{x})\ket{u}=\int\ket{x}\exp(-\overline{x}\frac{d}{dx})u(x)dx　　　　　　　　　　　　　　　　　　\biggl(　\frac{\hat{p}}{iℏ}=-\frac{d}{dx}　 \biggr)$

　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int\ket{x}\biggl[1-\overline{x}\frac{d}{dx}+\frac{1}{2}\overline{x}^2\biggl(\frac{d}{dx}\biggr)^2-\frac{1}{3!}\overline{x}^3\biggl(\frac{d}{dx}\biggr)^3+･････\biggr]u(x)dx　　\biggl(　\exp$のテーラー展開　$\biggr)$

　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int\ket{x}\biggl[u(x)-\overline{x}u^{\prime}(x)+\frac{1}{2}\overline{x}^2u^{{\prime}{\prime}}(x)-\frac{1}{3!}\overline{x}^3u^{{\prime}{\prime}{\prime}}(x)++･････\biggr]dx$

　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int\ket{x}\sum_{n=0}^∞\frac{u^{(n)}(x)}{n!}(-\overline{x})^ndx$

　　　　　　　　　　$=\displaystyle\int\ket{x}u(x-\overline{x})dx　　\biggl($　テーラー展開　$u(\overline{x})=\displaystyle\sum_{n=0}^∞\frac{u^{(n)}(x)}{n!}(\overline{x}-x)^ndx$　において　$\overline{x}⇒x-\overline{x}$　と置き換える　 $\biggr)$

　　　　このことから$\hat{T}(\overline{x})$は並進変換演算子であり、これを基底状態に作用させることで、基底状態以外の最小不確定性状態を構成することができる。

　　　　すなわち、状態$\hat{T}(\overline{x})\ket{0}$の波動関数$u(x)$を、基底状態の波動関数　$u_0(x)=A_0e^{(-\frac{1}{2}\frac{mω}{ℏ}x^2)}$　を用いて

　　　　　　　　　　$u(x)=u_0(x-\overline{x})=C_0e^{[-\frac{1}{2}\frac{mω}{ℏ}(x-\overline{x})^2]}$

　　　　と書き下すことができ、基底状態と同様にガウス分布関数となっていることがわかる。

　　　　また、$\hat{T}(\overline{x})$を生成消滅演算子で書きかえると

　　　　　　　　　　$\hat{T}(\overline{x})=e^{(\frac{\overline{x}}{iℏ}\hat{p})}=e^{\sqrt{\frac{mω}{2ℏ}}(\overline{x}\hat{a}^\dagger-\overline{x}\hat{a})}$　　　　$\biggl(　\hat{p}=\sqrt{\frac{mℏω}{2}}i(\hat{a}^\dagger-\hat{a})　\biggr)$

　　　　となり、$\overline{x}$は実数なので　$\hat{T}(\overline{x})$　は　$(\hat{T}(\overline{x}))^\dagger\hat{T}(\overline{x})=\hat{T}(\overline{x})(\hat{T}(\overline{x}))^\dagger=1$　からユニタリーであることがわかる

　　　　但し、$\overline{x}$は実数のためこれを複素数に拡張するために、複素パラメータ$α$を持つ演算子（変異演算子）を次のように定義する。

　　　　　　　　　　$\hat{D}≡e^{(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a})}$

　　　　変異演算子　$\hat{D}$　はユニタリーである。

　　　　変異演算子　$\hat{D}$　は、$α$を実数にとると並進演算子　$\hat{T}(\overline{x}=\sqrt{\frac{2ℏ}{mω}}α)$　に帰着する。

　　　　変位演算子　$\hat{D}$　を基底状態 $\ket{0}$ に作用させることによって、複素パラメータ$α$に中心をもつ

　　　　ガウス分布関数型の波動関数をもつ状態

　　　　　　　　　　$\ket{α} ≡ \hat{D}\ket{0}$　　　　を構成できる。

　　　　変位演算子$\hat{D}$によって消滅演算子$\hat{a}$は

　　　　　　$\hat{D}\hat{a}\hat{D}^\dagger=\hat{a}+[(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a}),\hat{a}]+\frac{1}{2}[(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a}),[(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a}),\hat{a}]]+･･･$
　　　　　　　　　　$=\hat{a}-α$　　　　　　　　　　　　$\biggl(　[A,[A,B]]=[B,[A,B]]=0$　のとき　$e^{-A}Be^A=[A,B]+B　\biggr)$

　　　　と変換される。同様に生成演算子も

　　　　　　$\hat{D}\hat{a}^\dagger\hat{D}^\dagger=\hat{a}^\dagger-α^*$

　　　　と変換される。$0=\hat{a}\ket{0}　$の両辺に$\hat{D}$を作用させると

　　　　　　$0=\hat{D}\hat{a}\ket{0}=\hat{D}\hat{a}\hat{D}^\dagger\hat{D}\ket{0}$

　　　　　　　　　　　　$=(\hat{a}-α)\ket{α}$

　　　　が得られるから、$α$は消滅演算子$\hat{a}$の固有値であり、$\ket{α}$は消滅演算子$\hat{a}$の固有状態であることがわかる。

　　　　状態$\ket{α}$の波動関数を$u(x)$とすれば、上式は

　　　　　　$0=\biggl[\sqrt{\frac{mω}{2ℏ}}\biggl(x+\frac{ℏ}{mω}\frac{d}{dx}\biggr)-α\biggr]u(x)$ 　　　　　　$\biggl(　\hat{a}=\sqrt{\frac{mω}{2ℏ}}+i\sqrt{\frac{1}{2mℏω}}\hat{p},　\hat{p}=-iℏ\frac{d}{dx}　\biggr)$

　　　　となり、この解は

　　　　　　$u(x)=Ae^{[-\frac{1}{2}\frac{mω}{ℏ}(x-ξ)^2]},　ξ=\sqrt{\frac{2ℏ}{mω}}$

　　　　となることは明らかである。

　　　　以上から、

　　　　$\ket{α} = e^{(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a})}\ket{0}$　で定義できる状態をコヒーレント状態と言い

　　　　コヒーレント状態を生成するハミルトニアンは　$\hat{H}∝i(α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a})$　で記述できる。


　　コヒーレント状態の生成

　　　　　　$e^{α\hat{a}^\dagger-α^*\hat{a}}\ket{0}=e^{α\hat{a}^\dagger}e^{-α^*\hat{a}}e^{-\frac{1}{2}[α\hat{a}^\dagger,-α^*\hat{a}]}\ket{0}$ 　 　$\biggl(　[\hat{A},[\hat{a},\hat{B}]]=[\hat{B},[\hat{a},\hat{B}]]=0$　のとき　$e^{\hat{A}+\hat{B}}=e^{\hat{A}}e^{\hat{B}}e^{-[\hat{A},\hat{B}]/2}$　:ﾍﾞｰｶｰ･ｷｬﾝﾍﾞﾙ･ﾊｳｽﾄﾞﾙﾌの公式　$\biggr)$

　　　　　　　　　　　　$=e^{-\frac{α^2}{2}}e^{α\hat{a}^\dagger}e^{-α^*\hat{a}}\ket{0}　　　　　\biggl(　[α\hat{a}^\dagger,-α^*\hat{a}]=α^2　\biggr)$

　　　　　　　　　　　　$=e^{-\frac{α^2}{2}}e^{α\hat{a}^\dagger}\ket{0} 　　　　　　　\biggl(\displaystyle e^{-α^*\hat{a}}\ket{0}=\biggl[1+(-α\hat{a})+\frac{(-α\hat{a})^2}{2!}+\frac{(-α\hat{a})^3}{3!}+･･･\biggr]\ket{0}=\ket{0}　\biggr)$

　　　　　　　　　　　　$=e^{-\frac{α^2}{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\frac{α^n}{n!}\hat{a}^{\dagger n}\ket{0}　　　　\biggl(　$指数関数のﾃｰﾗｰ展開　$\biggr)$

　　　　　　　　　　　　$=e^{-\frac{α^2}{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\frac{α^n}{n!}\sqrt{n!}\ket{n}　　　　\biggl(　\hat{a}^\dagger\ket{n}=\sqrt{n+1}\ket{n+1}　\biggr)$
　　　　　　　　　　　　$=e^{-\frac{α^2}{2}}\displaystyle\sum_{n=0}^{∞}\frac{α^n}{\sqrt{n!}}\ket{n}$

　　　　　　　　　　　　$=\ket{α}$