密度演算子


　　　　$ψ_i$がそれぞれ$ρ_i$の割合で混ざり合った状態を考える。

　　　　$\hat{A}$の期待値$\braket{A}$を計測すると、

　　　　　　　　　　$\displaystyle\braket{A}=\sum_{i=1}^∞ ρ_i\braket{{ψ_i}|\hat{A}|ψ_i}$

　　　　この量子系における正規直行基底$\ket{k}$の完全性より

　　　　　　　　　　$\displaystyle\sum_{k=1}^∞\ket{k}\bra{k}=\hat{1}$

　　　　上記２式から
　　　　　　　　　　$\displaystyle\braket{A}=\sum_{i=1}^∞ ρ_i\braket{{ψ_i}|\hat{A}|ψ_i}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{i=1}^∞ ρ_i\braket{{ψ_i}|\biggl(\sum_{k=1}^∞\ket{k}\bra{k}\biggr)\hat{A}|ψ_i}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{i=1}^∞\sum_{k=1}^∞ ρ_i\braket{ψ_i|k}\braket{k|\hat{A}|ψ_i}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{i=1}^∞\sum_{k=1}^∞ ρ_i\braket{k|\hat{A}|ψ_i}\braket{ψ_i|k}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{i=1}^∞\sum_{k=1}^∞ \braket{k|ρ_i\hat{A}|ψ_i}\braket{ψ_i|k}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{k=1}^∞ \braket{k|\hat{A}\biggl(\sum_{i=1}^∞ρ_i|ψ_i}\braket{ψ_i|\biggr)|k}$

　　　　　　　　　　　　$\displaystyle=\sum_{k=1}^∞ \braket{k|\hat{A}\hat{ρ}|k}$

　　　　　　　　　　　　$=Tr(\hat{A}\hat{ρ})$

　　　　ここで

　　　　　　　　　　　　$\hat{ρ}=\displaystyle\sum_{i=1}^∞ρ_i\ket{ψ_i}\bra{ψ_i}$

　　　　とし、$ρ$を密度演算子という。

　　　　よって、状態$ψ_i$がそれぞれの割合$ρ_i$で混じりあった状態において、物理量$\hat{A}$の期待値$\braket{A}$は、密度演算子を$ρ$とすると

　　　　　　　　　　$\displaystyle\braket{A}=\sum_{k=1}^∞ \braket{k|\hat{A}\hat{ρ}|k}=Tr(\hat{A}\hat{ρ})$

　　　　で計算できることがわかる。