ウィグナー関数の定義
ウィグナー関数$w(x,p)$は以下のように定義される。
$\displaystyle w(x,p)=\frac{1}{2πℏ}\int^∞_{-∞} dξ\,exp\biggl(-\frac{i}{ℏ}pξ\biggr)\bra{x+\frac{1}{2}ξ}ρ\ket{x-\frac{1}{2}ξ}$
$\displaystyle\int^∞_{-∞} dξ\,exp\biggl(-\frac{i}{ℏ}pξ\biggr)$ は位置から運動量へのフーリエ変換、
$\bra{x+\frac{1}{2}ξ}ρ\ket{x-\frac{1}{2}ξ}$は位置$\,(x-\frac{1}{2}ξ)$から$\,(x+\frac{1}{2}ξ)$への状態遷移を表している。
このことからウィグナー関数は、位置が$x$に存在し運動量が$p$である確率であり、従って$\displaystyle\int^∞_{-∞}\int^∞_{-∞}\,dx\,dp\,w(x,p)=1$である。
真空場のウィグナー関数
真空場では $ρ=\ket{0}\bra{0}$ となり、$ℏ=\frac{1}{2}$と置くと、
$\displaystyle w_0(x,p)=\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}\br{x+\frac{ξ}{2}}\ket{0}\br{0}\ket{x-\frac{ξ}{2}}$
$\hat{a}\ket{0}=0$であるから$\bra{x}\hat{a}\ket{0}=0$であり、$\hat{a}=\hat{x}+i\hat{p}$の左から$\bra{x}$を右から$\ket{0}$を作用させることで、
$\bra{x}\hat{x}\ket{0}+i\bra{x}\hat{p}\ket{0}=0$
一方、
$\bra{x}\hat{x}\ket{0}=\bra{x}\hat{x}\ket{ψ_0}=x\br{x}\ket{ψ_0}=xψ_0(x)$
$\displaystyle i\bra{x}\hat{p}\ket{0}=i\bra{x}\hat{p}\ket{ψ_0}=ip\br{x}\ket{ψ_0}=\frac{1}{2}\frac{d}{dx}ψ_0(x) \biggl(p=\frac{-i}{2}\frac{d}{dx}\biggr)$
前式に代入すると、
$\displaystyle xψ_0(x)+\frac{1}{2}\frac{d}{dx}ψ_0(x)=0 ∴ ψ_0(x)=ce^{-x^2}$
規格化条件により
$\displaystyle ψ_0(x)=\biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}e^{-x^2}$
よってウィグナー関数の具体式を求めると、
$\displaystyle w_0(x,p)=\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}\br{x+\frac{ξ}{2}}\ket{0}\br{0}\ket{x-\frac{ξ}{2}}$
$\displaystyle =\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}ψ_0(x+\frac{ξ}{2})ψ_0(x-\frac{ξ}{2})$
$\displaystyle =\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}\biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}e^{-(x+\frac{ξ}{2})^2} \biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}e^{-(x-\frac{ξ}{2})^2}$
$\displaystyle =\frac{1}{π}\sqrt{\frac{2}{π}}e^{-2x^2}\int dξe^{-\frac{1}{2}ξ^2}e^{-2ipξ}$
$\displaystyle =\frac{1}{π}\sqrt{\frac{2}{π}}e^{-2x^2}\sqrt{2π}\,e^{-2p^2} \biggl(\displaystyle\int^∞_{-∞}dx\,e^{-ax^2}e^{-2bx}=\sqrt{\frac{π}{a}}e^{\frac{b^2}{a}}\biggr)$
$\displaystyle =\frac{2}{π}e^{-2(x^2+p^2)}$
単一光子状態のウィグナー関数
$ψ_1(x)=\br{x}\ket{1}$
$=\bra{x}\hat{a}^\dagger\ket{0}$
$=\bra{x}\hat(\hat{x}-i\hat{p})\ket{0}$
$=xψ_0(x)-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}ψ_0(x)$
$=\displaystyle\biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}xe^{-x^2}+\biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}xe^{-x^2}$
$=2\displaystyle\biggl(\frac{2}{π}\biggr)^{\frac{1}{4}}xe^{-x^2}$
上式と$ρ=\ket{1}\bra{1}$からウィグナー関数の具体式を求めると、
$w_1(x,p)=\displaystyle\frac{1}{2πℏ}\int dξ\,e^{-2ipξ}\br{x+\frac{ξ}{2}}\ket{1}\br{1}\ket{x-\frac{ξ}{2}}$
$=\displaystyle\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}ψ_1(x+\frac{ξ}{2})ψ_1(x-\frac{ξ}{2}) \biggl(ℏ=\frac{1}{2}\biggr)$
$=\displaystyle 4\sqrt{\frac{2}{π}}\frac{1}{π}\int dξ\,e^{-2ipξ}\biggl(x+\frac{ξ}{2}\biggr)e^{-(x+\frac{ξ}{2})^2}\biggl(x-\frac{ξ}{2}\biggr)e^{-(x-\frac{ξ}{2})^2}$
$=\displaystyle \frac{4}{π}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dξ\,(x^2-\frac{ξ^2}{4})\,e^{-2ipξ-\frac{ξ^2}{2}-2x^2}$
$=\displaystyle \frac{4}{π}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dξ\,(x^2-\frac{ξ^2}{4})\,e^{-\frac{1}{2}(ξ+2ip)^2-2x^2-2p^2}$
$=\displaystyle \frac{4}{π}x^2e^{-2(x^2+p^2)}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dξ\,e^{-\frac{1}{2}(ξ+2ip)^2}-\frac{4}{π}e^{-2(x^2+p^2)}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dξ\,\frac{ξ^2}{4}\,e^{-\frac{1}{2}(ξ+2ip)^2}$
$=\displaystyle \frac{4}{π}x^2e^{-2(x^2+p^2)}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dχ\,e^{-\frac{1}{2}χ^2}-\frac{4}{π}e^{-2(x^2+p^2)}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dη\,\frac{(η-2ip)^2}{4}\,e^{-\frac{1}{2}η^2}$
$=\displaystyle \frac{2}{π}e^{-2(x^2+p^2)}･4x^2-\frac{4}{π}e^{-2(x^2+p^2)}\sqrt{\frac{2}{π}}\int dη\,\frac{-4p^2+η^2-4ipη}{4}\,e^{-\frac{1}{2}η^2} \biggl(\int^∞_{-∞}e^{-ax^2}=\sqrt{\frac{π}{a}}\biggr)$
$=\displaystyle \frac{2}{π}e^{-2(x^2+p^2)}(4x^2+4p^2-1) \biggl(\int^∞_{-∞}x^2e^{-ax^2}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{a^3}}\biggr)$
その他のウィグナー関数例
コヒーレント状態のウィグナー関数
$w_α(x,p)=\displaystyle\frac{2}{π}e^{-2(x-x_0)^2-2(p-p_0)^2}$
スクイーズド状態のウィグナー関数
$w_s(x,p)=\displaystyle\frac{2}{π}e^{-2(xe^r)^2-2(pe^{-r})^2}$