クーロンゲージにおける$Maxwell$方程式は、

　　　　　　　$\Div{A}=0$
　　　　　　　$\nabla^2φ=-\frac{ρ_ε}{ε}$
　　　　　　　$\biggl(\nabla^2-εμ\frac{\partial^2}{\partial t^2} \biggr)A=-μ\biggl(i-ε\nabla\frac{\partial φ}{\partial t}\biggr)$

　　　　　さらに真空中の場合は、$φ=0、i=0、ε_0μ_0a=\frac{1}{c^2}$であるため

　　　　　　　$\biggl(\nabla^2-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} \biggr)A=0$

　　　　　となり典型的な波動方程式になる。したがって$A$の解として

　　　　　　　$A=a e^{-ik･r}$　となるが

　　　　　進行方向に垂直な２つの単位成分を考慮すると

　　　　　　　$A_σ=ｅ_{σ}a_{σ}e^{-ik･r}$　となる。$(σ＝1，2)$

　　　　　さらに全体が実数になるよう複素共役をとったものを加えると、ベクトルポテンシャル$A$は

　　　　　　　$A_σ=ｅ_{σ}\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$　　　となる。

　　　　　$ｅ_{σ}$は$\hat{A}$のベクトルとしての方向を決める単位的なベクトルなのでこれを$x,y,z$成分に分ける。

　　　　　　　$A_{σx}=ℯ_{σx}\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$
　　　　　　　$A_{σy}=ℯ_{σy}\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$
　　　　　　　$A_{σz}=ℯ_{σz}\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　　　$e^{ik･r}=e^{i(k_x x+k_y y+k_z z)}　∴　\frac{\partial}{\partial y}e^{ik･r}=ik_ye^{ik･r}$　　　　　同様に　　$\frac{\partial}{\partial z}e^{ik･r}=ik_ze^{ik･r}$

　　　　　よって

　　　　　　　$\displaystyle\frac{\partial{A_{σz}}}{\partial y}=ℯ_{σz}\biggl(\frac{\partial}{\partial y}a_{σ}e^{-ik･r}+\frac{\partial}{\partial y}a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$
　　　　　　　　　　$=\biggl(-iℯ_{σz}k_y a_{σ}e^{-ik･r}+iℯ_{σz}k_y a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　同様に

　　　　　　　$\displaystyle\frac{\partial{A_{σy}}}{\partial z}=\biggl(-iℯ_{σy}k_z a_{σ}e^{-ik･r}+iℯ_{σy}k_z a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　よって

　　　　　　　$\displaystyle\frac{\partial{A_{σz}}}{\partial y}-\displaystyle\frac{\partial{A_{σy}}}{\partial z}=-i\biggl(ℯ_{σz}k_y-ℯ_{σy}k_z\biggr)\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　同様にして

　　　　　　　$\displaystyle\frac{\partial{A_{σx}}}{\partial z}-\displaystyle\frac{\partial{A_{σz}}}{\partial x}=-i\biggl(ℯ_{σx}k_z-ℯ_{σz}k_x\biggr)\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　　　$\displaystyle\frac{\partial{A_{σy}}}{\partial x}-\displaystyle\frac{\partial{A_{σx}}}{\partial y}=-i\biggl(ℯ_{σy}k_x-ℯ_{σx}k_y\biggr)\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$

　　　　　以上から

　　　　　　　$B_σ=∇×A_σ$
　　　　　　　　　$=\biggl(\frac{\partial A_{σz}}{\partial y}-\frac{\partial A_{σy}}{\partial z},\frac{\partial A_{σx}}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x},\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\biggr)$
　　　　　　　　　$=-iｅ_σ×k\biggl(a_{σ}e^{-ik･r}+a^*_{σ}e^{ik･r}\biggr)$
　　　　　　　　　$=ik×ｅ_σA_σ$