$Maxwell$の方程式と電磁ポテンシャル

　　　　　$Maxwell$の方程式　$\Div{B}(x,t)=0$　に対して

　　　　　恒等式　$\Div$ $\Rot{A}=\nabla\cdot(\nabla×A)=0$　から

　　　　　　　$B(x,t)=\Rot{A(x,t)} $

　　　　　$A$を、磁束密度ベクトル$B$のベクトルポテンシャルという
　　　　　これは、静磁場でのベクトルポテンシャルを時間変動する磁場に拡張したものである。

　　　　　$Maxwell$の電磁誘導方程式　$\Rot{E(x,t)}+\frac{\partial B(x,t)}{\partial t}=0$　に対して　$B(x,t)=\Rot{A(x,t)} $　を代入すると

　　　　　　　$\Rot{E(x,t)}+\frac{\partial B(x,t)}{\partial t}=\nabla×E+\frac{\partial B(x,t)}{\partial t}=\nabla×E+\frac{\partial (\nabla×A)}{\partial t}=\nabla×(E+\frac{\partial A}{\partial t})=0$　から

　　　　　　　$\Rot{(E+\frac{\partial A}{\partial t})}=0$　となり

　　　　　スカラーポテンシャル$φ(x,t)$において、恒等式　$\Rot({\Grad{φ(x,t)}})=0$　より　$\Rot({-\Grad{φ(x,t)}})=0$　も成り立つことから

　　　　　　　$E(x,t)+\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}=-\Grad{φ(x,t)}$

　　　　　となり、電場の強さ$E$にはスカラーポテンシャル$φ(x,t)$とベクトルポテンシャル$A(x,t)$の両方が関与する。
　　　　　スカラーポテンシャル$φ(x,t)$とベクトルポテンシャル$A(x,t)$を併せて電磁ポテンシャルといい、以上をまとめると次式となる。

　　　　　　　磁束密度　：$B(x,t)=\Rot{A(x,t)}$
　　　　　　　電場の強さ：$E(x,t)=-\Grad{φ(x,t)}-\frac{\partial A(x,t)}{\partial t}$


　　　　　付録１$Maxwell$方程式の電磁ポテンシャル表現

　　　　　付録２ベクトルポテンシャルの任意性とゲージ変換