正準変数の量子化
　　　　　ベクトルポテンシャル$A_σ{(k,t)}$を一般化座標、ベクトルポテンシャルの時間微分$π_σ{(k,t)}=ε_0{\frac{\partial A_σ(k,t)}{\partial t}}$を一般化運動量とする。
　　　　　（$ε_0$は真空時の誘電率、$σ$はベクトルポテンシャルが進行方向に垂直で互いに直行する2次元ベクトルのため2つの成分を区別するもの）

　　　　　そして、実空間においてベクトルポテンシャルは実数であるから、${A_σ}^*{(k,t)}=A_σ{(-k,t)}$および、${π_σ}^*{(k,t)}=π_σ{(-k,t)}$となっている。・・・①

　　　　　今、$A_σ{(k,t)}$と${π_σ}^*{(k,t)}$を正準変数として正準量子化を行う。(シュレーディンガー描像を用い演算子は時間変化しないこととする)

　　　　　　　$A_σ{(k)}　⇒　\hat{{A_σ}}{(k)}$　、　${π_σ}^*{(k)}　⇒　\hat{{π_σ}}^\dagger{(k)}$

　　　　　　　$[\hat{{A_σ}}{(k)},\hat{{{π_σ}^´}}^\dagger{(k^´)}]=iℏδ_{σσ^´}δ(k-k^´)$　・・・・・・②

　　　　　　　$[\hat{{A_σ}}{(k)},\hat{{{π_σ}^´}}{(k^´)}]=0$　　　　　　　　・・・・・・③

　　　　　なお①の関係から
　　　　　　　$\hat{{A_σ}}^\dagger{(k)}=\hat{A_σ}{(-k)}$　　　　　　　　　・・・・・・④
　　　　　　　$\hat{{π_σ}}^\dagger{(k)}=\hat{π_σ}{(-k)}$　　　　　　　　　・・・・・・⑤

　　　　　さらに消滅・生成演算子を定義する。
　　　　　　　$\hat{a}_{kσ}=\sqrt{\frac{ε_0}{2ℏω_k}}[ω_k\hat{{A_σ}}{(k)}+i\frac{1}{ε_0}\hat{π_σ}{(k)}]$　　　・・・⑥

　　　　　　　$\hat{a_{kσ}}{^\dagger}=\sqrt{\frac{ε_0}{2ℏω_k}}[ω_k\hat{{{A_σ}^\dagger}}{(k)}-i\frac{1}{ε_0}\hat{{π_σ}^\dagger}{(k)}]$　　・・・⑦

　　電場の量子化

　　　　　電場の強さは$Maxwell$の方程式より
　　　　　　　$E(k,t)=-\Grad{φ(k,t)}-\frac{\partial A(k,t)}{\partial t}$　であるが

　　　　　真空中では　$φ=0$　であり　$E(k,t)=-\frac{\partial A(k,t)}{\partial t}$　となる。

　　　　　一般化運動量の関係　$\frac{π_σ{(k,t)}}{ε_0}={\frac{\partial A_σ(k,t)}{\partial t}}$　を代入し

　　　　　　　$E(k,t)=-\frac{1}{ε_0}π_σ{(k,t)}　⇒　\hat{E}(k)=-\frac{1}{ε_0}ｅ_{kσ}\hat{π}_σ{(k)}$
　　　　　　　($ｅ_{kσ}$は電場の単位偏向ベクトル、シュレーディンガー描像による演算子の時間変化なし)

　　　　　これを逆フーリエ変換により実空間に戻し

　　　　　　　$\hat{E}(r)=-\frac{1}{ε_0}{(\frac{1}{2π})}^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum_{σ=1}^{2}ｅ_{kσ}\hat{π}_σ(k)e^{ik･r}{d}{k}$

　　　　　さらに④⑤⑥⑦を用いて変形すると
　　　　　　　$\hat{E}(r)=i{\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)}^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum_{σ=1}^{2}\sqrt{\frac{ℏω_k}{2ε_0}}ｅ_{kσ}(\hat{a}_{kσ}e^{ik･r}-\hat{a}^{\dagger}_{kσ}e^{-ik･r}){d}{k}$　　　　・・・・・⑧

　　磁場の量子化

　　　　　磁束密度は$Maxwell$の方程式より

　　　　　　　$B(k,t)=∇×A(k,t)=ikｘｅ_{kσ}×A(k,t)　$※　$　　⇒　\hat{B}(k)=ik×ｅ_{kσ}\hat{A}(k)$

　　　　　これを逆フーリエ変換により実空間に戻す。

　　　　　　　$\hat{B}(r)=i{\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)}^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum_{σ=1}^{2}k×ｅ_{kσ}\hat{A}_σ(k)e^{ik･r}{d}{k}$

　　　　　さらに④⑤⑥⑦を用いて変形すると
　　　　　　　$\hat{B}(r)=i{\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)}^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum_{σ=1}^{2}\sqrt{\frac{ℏ}{2ε_0ω_k}}k×ｅ_{kσ}(\hat{a}_{kσ}e^{ik･r}-\hat{a}^{\dagger}_{kσ}e^{-ik･r}){d}{k}$　　　・・・・⑨

　　電磁場のハミルトニアン

　　　　　ハミルトニアンは以下のように定義できる。

　　　　　　　$\hat{H}=\displaystyle\int\biggl(\frac{1}{2}ε_0\hat{E}(r)･\hat{E}(r)+\frac{1}{2μ_0}\hat{B}(r)･\hat{B}(r)\biggr)dr$

　　　　　さらに⑧、⑨および　$\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)^3\displaystyle\int{e^{i(k-k^´)･r}dr}=δ(k-k^´)$　の関係を用いて式変形し、時間に依存しないハミルトニアンを定義する。※

　　　　　　　$\hat{H}=\displaystyle\int\displaystyle\sum^2_{σ=1}\frac{ℏω_k}{2}\biggl(\hat{a}^\dagger_{kσ}\hat{a}_{kσ}+\hat{a}_{kσ}\hat{a}^\dagger_{kσ}\biggr)dk$　　　・・・・⑩

　　電磁場の時間発展（ハイゼンベルグ描像への変換）

　　　　ハイゼンベルグ描像の電場演算子はシュレーディンガー描像の電場演算子から、時間に依存しないハミルトニアン$\hat{H}$により以下の式で変換される。

　　　　　　　$\hat{E}(r,t)=e^{i\frac{\hat{H}}{ℏ}t}\hat{E}(r)e^{-i\frac{\hat{H}}{ℏ}t}$ ※　

　　　　上式と②③⑧⑨⑩等より

　　　　　　　$\hat{E}(r,t)=i\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum^2_{σ=1}\sqrt{\frac{ℏω_k}{2ε_0}}ｅ_{kσ}\biggl[\hat{a}_{kσ}e^{i(k･r-ω_kt)}-\hat{a}^\dagger_{kσ}e^{-i(k･r-ω_kt)}\biggr]dk$

　　　　　　　$\hat{B}(r,t)=i\biggl(\frac{1}{2π}\biggr)^{\frac{3}{2}}\displaystyle\int\displaystyle\sum^2_{σ=1}\sqrt{\frac{ℏ}{2ε_0ω_k}}　k×ｅ_{kσ}\biggl[\hat{a}_{kσ}e^{i(k･r-ω_kt)}-\hat{a}^\dagger_{kσ}e^{-i(k･r-ω_kt)}\biggr]dk$